تمارين على الأعداد العقدية

تمارين الأعداد العقدية أو المركبة

الأعداد العقدية أو المركبة هي أحد المواضيع الأساسية في الرياضيات والتي تشكل جزءًا مهمًا من العديد من فروع الرياضيات المعاصرة. وهي تمثل مجموعة من الأعداد التي تتجاوز الأعداد الحقيقية (التي تشمل الأعداد الصحيحة والكسور) لتشمل الأعداد التي تحتوي على جزءين: الجزء الأول هو عدد حقيقي، والجزء الثاني هو عدد تخيلي يعتمد على الوحدة التخييلية “i”، حيث أن $i$ هي الجذر التربيعي للعدد $-1$.

تعتبر الأعداد العقدية جزءًا أساسيًا من التحليل الرياضي والهندسة المعقدة، وهي ضرورية لفهم العديد من التطبيقات العلمية والتقنية مثل معادلات الكهرباء والمغناطيسية، والأنظمة الميكانيكية، وكذلك في الحلول التحليلية للألعاب الرياضية والفيزياء.

1. تعريف الأعداد العقدية

تُعرف الأعداد العقدية بأنها الأعداد التي يمكن كتابتها بالشكل التالي:

$$z = a + bi$$

حيث:

• $a$ هو الجزء الحقيقي.

• $b$ هو الجزء التخيلي.

• $i$ هو الوحدة التخييلية، حيث $i^2 = -1$.

على سبيل المثال، العدد المركب $z = 3 + 4i$ يتكون من الجزء الحقيقي 3 والجزء التخيلي 4i.

2. العمليات الأساسية على الأعداد العقدية

تتضمن الأعداد العقدية عدة عمليات أساسية يمكن إجراؤها عليها، مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. سنتناول كلًا من هذه العمليات بتفصيل:

2.1 جمع الأعداد العقدية

إذا كان لدينا عددان عقديان:

$$z_1 = a + bi \quad و \quad z_2 = c + di$$

فإن جمع الأعداد العقدية يتم كما يلي:

$$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$$

وبالتالي، يتم جمع الأجزاء الحقيقية معًا، وجمع الأجزاء التخييلية معًا.

2.2 طرح الأعداد العقدية

عملية الطرح تتم بالطريقة نفسها، حيث يتم طرح الأجزاء الحقيقية والتخييلية على حدة:

$$z_1 – z_2 = (a – c) + (b – d)i$$

2.3 ضرب الأعداد العقدية

لضرب عددين عقديين، نستخدم توزيع الضرب كما في القيم الجبرية:

$$z_1 \times z_2 = (a + bi) \times (c + di)$$

ومن ثم نقوم بتوسيع المعادلة:

$$= ac + adi + bci + bdi^2$$

وبما أن $i^2 = -1$، فإن المعادلة تصبح:

$$= (ac – bd) + (ad + bc)i$$

2.4 قسمة الأعداد العقدية

لقسمة عددين عقديين، نضرب البسط والمقام في المقام المركب المرافق. إذا كان لدينا العددين:

$$z_1 = a + bi \quad و \quad z_2 = c + di$$

فإن قسمة العددين تتم كما يلي:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di}$$

نضرب كل من البسط والمقام في المقام المرافق:

$$= \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)}$$

وبذلك نحصل على الشكل المطلوب.

3. الشكل القطبي للأعداد العقدية

من الممكن أيضًا تمثيل الأعداد العقدية باستخدام الشكل القطبي أو الموجه. في هذا الشكل، يُعبر عن العدد العقدي في صورة $z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$، حيث:

• $r$ هو القيمة المطلقة للعدد العقدي أو المسافة بين النقطة التي تمثل العدد على المستوى المركب ونقطة الأصل، ويحسب باستخدام المعادلة:

  $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$

• $\theta$ هو الزاوية التي يصنعها العدد العقدي مع المحور الحقيقي في المستوى المركب، وتسمى الزاوية القطبية، ويتم حسابها باستخدام:

  $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$$

باستخدام هذا الشكل، يمكن أيضًا تطبيق عمليات مثل ضرب الأعداد العقدية أو قسمة الأعداد العقدية بطريقة أكثر بساطة ووضوحًا.

4. الجذر التربيعي للأعداد العقدية

يعد حساب الجذر التربيعي للأعداد العقدية موضوعًا مهمًا ومعقدًا قليلاً في الرياضيات. لحساب الجذر التربيعي للعدد المركب $z = a + bi$، نتبع الخطوات التالية:

1. نحول العدد العقدي إلى الشكل القطبي.

2. نطبق قاعدة حساب الجذور التربيعية للأعداد القطبية.

الجذر التربيعي للعدد المركب يُعطى بالصيغة:

$$\sqrt{z} = \sqrt{r} \left( \cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2} \right)$$

5. التمثيل الهندسي للأعداد العقدية

يتم تمثيل الأعداد العقدية هندسيًا في مستوى يسمى “المستوى المركب”، حيث يتم تمثيل الجزء الحقيقي على المحور الأفقي (المحور $x$)، بينما يُمثل الجزء التخيلي على المحور الرأسي (المحور $y$). وبذلك، كل عدد عقدي يتوافق مع نقطة معينة في هذا المستوى.

6. تمارين على الأعداد العقدية

لتوضيح العمليات الحسابية للأعداد العقدية، نقدم بعض التمارين:

6.1 جمع الأعداد العقدية

أوجد قيمة $z_1 + z_2$ حيث:

$$z_1 = 3 + 4i \quad و \quad z_2 = 5 – 2i$$

الحل:

$$z_1 + z_2 = (3 + 5) + (4 – 2)i = 8 + 2i$$

6.2 ضرب الأعداد العقدية

أوجد قيمة $z_1 \times z_2$ حيث:

$$z_1 = 2 + 3i \quad و \quad z_2 = 4 – i$$

الحل:

$$z_1 \times z_2 = (2 + 3i)(4 – i) = 8 – 2i + 12i – 3i^2$$

وبما أن $i^2 = -1$، تصبح المعادلة:

$$= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$$

6.3 قسمة الأعداد العقدية

أوجد قيمة $\frac{z_1}{z_2}$ حيث:

$$z_1 = 3 + 4i \quad و \quad z_2 = 1 – 2i$$

الحل:
نضرب كل من البسط والمقام في المقام المرافق:

$$\frac{3 + 4i}{1 – 2i} \times \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)}$$

المقام يصبح:

$$(1 – 2i)(1 + 2i) = 1^2 – (2i)^2 = 1 + 4 = 5$$

أما البسط فيصبح:

$$(3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i – 8 = -5 + 10i$$

وبالتالي:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$$

7. التطبيقات العملية للأعداد العقدية

تلعب الأعداد العقدية دورًا أساسيًا في العديد من التطبيقات العملية في مجالات مثل الهندسة الكهربائية، تحليل الدوائر الكهربائية، الميكانيكا الكمومية، والرياضيات المالية. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الفولتية والتيارات في الدوائر الكهربائية باستخدام الأعداد العقدية. وفي ميكانيكا الكم، تُستخدم الأعداد العقدية في تمثيل حالات النظام الكمومي ودراسة التفاعلات بين الجسيمات.

الأعداد العقدية توفر أيضًا الأدوات اللازمة لحل المعادلات التفاضلية في العديد من التطبيقات الفيزيائية والهندسية.

الخاتمة

الأعداد العقدية هي عنصر أساسي في الرياضيات، وتعتبر أداة قوية لحل العديد من المعادلات المعقدة في الرياضيات والفيزياء والهندسة. من خلال العمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة، إلى التمثيل الهندسي والحسابات المعقدة في الشكل القطبي، توفر الأعداد العقدية حلولًا لعدد من المسائل التي لا يمكن حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.